Misure ed Errori

Strumenti di Misura

Nella nostra vita quotidiana molte volte abbiamo a che fare con oggetti che richiedono una misurazione, per il quale scopo occorre utilizzare alcuni strumenti: riga, righello, metro e altri strumenti più sofisticati. Gli strumenti solitamente riproducono su un’apposita scala graduata l’unità di misura. Ogni misura si indica con un numero seguita dall’unità di misura; ad esempio il tavolino è lungo 3 m (metri). Il numero esprime il rapporto numerico fra la grandezza misurata e l’unità di misura.

       

Nella seguente tabella sono indicate le grandezze fisiche che esse misurano.

Alcuni   strumenti tarati

Strumento

Grandezza  fisica misurata

Orologio Intervallo di tempo
Termometro Temperatura
Dinamometro Intensità della forza
Amperometro Intensità della corrente elettrica
Voltmetro Differenza di potenziale elettrico
Barometro Pressione atmosferica
tachimetro velocità

Ogni strumento di misura è caratterizzato da alcune caratteristiche. Le principali sono: la portata, la sensibilità e la prontezza.

La portata: indica la massima variazione della grandezza che lo strumento può misurare.

La sensibilità: indica la minima variazione del valore della grandezza che può essere misurata dallo strumento.

La prontezza: indica la rapidità di risposta di uno strumento.


TEORIA DEGLI ERRORI

Quando si esegue qualsiasi misurazione, è inevitabile compiere errori di misura. I risultati delle misure, devono essere espresse con l’indicazione dell’errore.

Gli errori che si possono commettere sono di due tipi:

  • errori sistematici: sono quelli che si ripetono sistematicamente con le stesse modalità ogni volta che ripetiamo ogni la misura di una stessa grandezza e sono dovuti principalmente alle imperfezioni degli strumenti di misura utilizzati. Per essi si possono adottare opportuni accorgimenti in fase di misurazione per eliminarli o quanto meno ridurli.
  • errori accidentali: non dipendono da imperfezioni strumentali, ma derivano da fenomeni connessi con l’ambiente in cui si effettua la misura o sono commessi accidentalmente dall’operatore. Tali errori seguono le leggi della statistica, si distribuiscono in modo casuale e determinato misure errate sia per eccesso che per difetto rispetto alla misura più probabile. Per limitare tali tipi di errore, si ripetono molte volte le misure della grandezza d’interesse e si calcola il valor medio.

Valore medio

Per ottenere il valore medio occorre seguire la misura più volte, sommare i valori ottenuti e dividerlo per il numero di misurazioni (n). Il valore medio rappresenta il valore più probabile, cioè è quel valore che con più probabilità si avvicina al valore vero.

ā = (ā1 + ā2 + … + ān) / n

Errore assoluto

Si definisce errore assoluto il valore ottenuto dalla differenza tra il valore massimo e il valore minimo delle misurazioni effettuate il tutto diviso 2.

eass = ( āmax – āmin ) / 2

L’errore assoluto rappresenta una stima dell’errore massimo di una misura. La misura reale o vera è contenuta nell’intervallo che ha per estremi ā ± eass; la misura della grandezza è espressa allora nel seguente modo:

a = ā ± eass    (misura di una grandezza)

Scarto Quadratico medio

Per effettuare confronti di variabilità tra distribuzioni diverse conviene fare riferimento  allo scarto quadratico medio (o deviazione standard).

La varianza è la media delle differenze elevate al quadrato tra ciascuna delle osservazioni in un gruppo di dati e la media aritmetica dei dati stessi, M.

Quindi rappresenta l’errore al quadrato che commettiamo, in media, sostituendo ad una generica osservazione, xi, la media, M. Lo scarto quadratico medio è la radice della varianza e quindi rappresenta la radice quadrata dell’errore (medio) al quadrato.

Errore relativo

Per stabilire quale misurazione è affetta da errore relativamente maggiore, è più idoneo determinare l’errore relativo definito come rapporto tra l’errore assoluto e il valore medio.

L’errore relativo è un numero puro cioè non ha unità di misura.

erel = eass  / ā

Esso è un indice della precisione della misura: errori relativi più piccoli indicano misure più precise.

L’errore relativo può essere scritto in forma percentuale:

erel% = erel x 100

Cifre significative

Le misurazioni effettuate si indicano con numeri aventi determinate cifre che dipendono dalla precisione della misura.

Si consideri ad esempio un righello che ha solitamente sensibilità di 1 mm ( distanza minima tra due tacche successive).

Se esprimo la ipotetica misura in centimetri, essa sarà del tipo:

L = (12,6 ± 0,1) cm

Le prime due cifre (12) sono certe, l’ultima (il millimetro) è incerta o affetta da errore.

Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta. Nell’esempio considerato sono 3.

Sono significativi gli zero posti a destra del numero, non lo sono quelli posti a sinistra; ad esempio una misura di 0,0230 ha solamente tre cifre significative (2-3-0).

Approssimazione e Arrotondamenti

Approssimare un numero significa limitare il numero delle sue cifre decimali; l’approssimazione può essere fatta per eccesso o per difetto.

L’approssimazione per difetto si esegue quando la prima cifra da eliminare è inferiore a 5; in tal caso il numero si scrive omettendo tutte le cifre decimali a partire dal numero considerato.

L’approssimazione per eccesso si esegue quando la prima cifra da eliminare è uguale e superiore a 5; in tal caso il numero si scrive omettendo tutte le cifre decimali a partire dal numero considerato ed aggiungendo una unità all’ultima cifra rimasta.

Arrotondare un numero significa ridurre le sue cifre significative per eccesso o per difetto.

Propagazione degli errori

Una volta determinate più grandezze attraverso la loro misurazione, nonché il loro valor medio ed il loro errore assoluto e relativo, vediamo cosa accade agli errori delle grandezze derivate da esse.

Infatti poiché le misure sono affette da errore (che conosciamo), anche le grandezze derivate saranno affette da errori che è possibile calcolare.

Qualora la grandezza derivata (S) è calcolata come somma (o differenza) di altre grandezze (a, b), l’errore assoluto di (S) è la somma degli errori assoluti delle singole grandezze.

eass(S) = eass(a) + eass(b)

Qualora la grandezza derivata (P) è calcolata come prodotto (o quoziente) di altre grandezze (a, b), l’errore relativo di (P) è la somma degli errori relativi delle singole grandezze.

erel(S) = erel(a) + erel(b)

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