Strumenti di Misura
Nella nostra vita quotidiana molte volte abbiamo a che fare con oggetti che richiedono una misurazione, per il quale scopo occorre utilizzare alcuni strumenti: riga, righello, metro e altri strumenti più sofisticati. Gli strumenti solitamente riproducono su un’apposita scala graduata l’unità di misura. Ogni misura si indica con un numero seguita dall’unità di misura; ad esempio il tavolino è lungo 3 m (metri). Il numero esprime il rapporto numerico fra la grandezza misurata e l’unità di misura.
Nella seguente tabella sono indicate le grandezze fisiche che esse misurano.
Alcuni strumenti tarati |
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Strumento |
Grandezza fisica misurata |
Orologio | Intervallo di tempo |
Termometro | Temperatura |
Dinamometro | Intensità della forza |
Amperometro | Intensità della corrente elettrica |
Voltmetro | Differenza di potenziale elettrico |
Barometro | Pressione atmosferica |
tachimetro | velocità |
Ogni strumento di misura è caratterizzato da alcune caratteristiche. Le principali sono: la portata, la sensibilità e la prontezza.
La portata: indica la massima variazione della grandezza che lo strumento può misurare.
La sensibilità: indica la minima variazione del valore della grandezza che può essere misurata dallo strumento.
La prontezza: indica la rapidità di risposta di uno strumento.
TEORIA DEGLI ERRORI
Quando si esegue qualsiasi misurazione, è inevitabile compiere errori di misura. I risultati delle misure, devono essere espresse con l’indicazione dell’errore.
Gli errori che si possono commettere sono di due tipi:
- errori sistematici: sono quelli che si ripetono sistematicamente con le stesse modalità ogni volta che ripetiamo ogni la misura di una stessa grandezza e sono dovuti principalmente alle imperfezioni degli strumenti di misura utilizzati. Per essi si possono adottare opportuni accorgimenti in fase di misurazione per eliminarli o quanto meno ridurli.
- errori accidentali: non dipendono da imperfezioni strumentali, ma derivano da fenomeni connessi con l’ambiente in cui si effettua la misura o sono commessi accidentalmente dall’operatore. Tali errori seguono le leggi della statistica, si distribuiscono in modo casuale e determinato misure errate sia per eccesso che per difetto rispetto alla misura più probabile. Per limitare tali tipi di errore, si ripetono molte volte le misure della grandezza d’interesse e si calcola il valor medio.
Per ottenere il valore medio occorre seguire la misura più volte, sommare i valori ottenuti e dividerlo per il numero di misurazioni (n). Il valore medio rappresenta il valore più probabile, cioè è quel valore che con più probabilità si avvicina al valore vero.
ā = (ā1 + ā2 + … + ān) / n
Errore assoluto
Si definisce errore assoluto il valore ottenuto dalla differenza tra il valore massimo e il valore minimo delle misurazioni effettuate il tutto diviso 2.
eass = ( āmax – āmin ) / 2
L’errore assoluto rappresenta una stima dell’errore massimo di una misura. La misura reale o vera è contenuta nell’intervallo che ha per estremi ā ± eass; la misura della grandezza è espressa allora nel seguente modo:
a = ā ± eass (misura di una grandezza)
Per effettuare confronti di variabilità tra distribuzioni diverse conviene fare riferimento allo scarto quadratico medio (o deviazione standard).
La varianza è la media delle differenze elevate al quadrato tra ciascuna delle osservazioni in un gruppo di dati e la media aritmetica dei dati stessi, M.
Quindi rappresenta l’errore al quadrato che commettiamo, in media, sostituendo ad una generica osservazione, xi, la media, M. Lo scarto quadratico medio è la radice della varianza e quindi rappresenta la radice quadrata dell’errore (medio) al quadrato.
Errore relativo
Per stabilire quale misurazione è affetta da errore relativamente maggiore, è più idoneo determinare l’errore relativo definito come rapporto tra l’errore assoluto e il valore medio.
L’errore relativo è un numero puro cioè non ha unità di misura.
erel = eass / ā
Esso è un indice della precisione della misura: errori relativi più piccoli indicano misure più precise.
L’errore relativo può essere scritto in forma percentuale:
erel% = erel x 100
Cifre significative
Le misurazioni effettuate si indicano con numeri aventi determinate cifre che dipendono dalla precisione della misura.
Si consideri ad esempio un righello che ha solitamente sensibilità di 1 mm ( distanza minima tra due tacche successive).
Se esprimo la ipotetica misura in centimetri, essa sarà del tipo:
L = (12,6 ± 0,1) cm
Le prime due cifre (12) sono certe, l’ultima (il millimetro) è incerta o affetta da errore.
Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta. Nell’esempio considerato sono 3.
Sono significativi gli zero posti a destra del numero, non lo sono quelli posti a sinistra; ad esempio una misura di 0,0230 ha solamente tre cifre significative (2-3-0).
Approssimazione e Arrotondamenti
Approssimare un numero significa limitare il numero delle sue cifre decimali; l’approssimazione può essere fatta per eccesso o per difetto.
L’approssimazione per difetto si esegue quando la prima cifra da eliminare è inferiore a 5; in tal caso il numero si scrive omettendo tutte le cifre decimali a partire dal numero considerato.
L’approssimazione per eccesso si esegue quando la prima cifra da eliminare è uguale e superiore a 5; in tal caso il numero si scrive omettendo tutte le cifre decimali a partire dal numero considerato ed aggiungendo una unità all’ultima cifra rimasta.
Arrotondare un numero significa ridurre le sue cifre significative per eccesso o per difetto.
Propagazione degli errori
Una volta determinate più grandezze attraverso la loro misurazione, nonché il loro valor medio ed il loro errore assoluto e relativo, vediamo cosa accade agli errori delle grandezze derivate da esse.
Infatti poiché le misure sono affette da errore (che conosciamo), anche le grandezze derivate saranno affette da errori che è possibile calcolare.
Qualora la grandezza derivata (S) è calcolata come somma (o differenza) di altre grandezze (a, b), l’errore assoluto di (S) è la somma degli errori assoluti delle singole grandezze.
eass(S) = eass(a) + eass(b)
Qualora la grandezza derivata (P) è calcolata come prodotto (o quoziente) di altre grandezze (a, b), l’errore relativo di (P) è la somma degli errori relativi delle singole grandezze.
erel(S) = erel(a) + erel(b)