Definizione
La quantità di moto q di un corpo è il prodotto della massa m del corpo per la sua velocità v:
q = m · v
L’unità di misura è il Kg·m/s.
La quantità di moto è una grandezza vettoriale che ha stessa direzione e verso del vettore velocità.
Esempio 1
Si determini la quantità di moto per un’automobile di massa1.300 Kgche viaggia alla velocità di110 Km/h. A quale velocità (in Km/h) un’altra automobile di massa900 Kgdeve viaggiare per avere la stessa quantità di moto della precedente?
v =110 Km/h= 110/3,6 m/s = 30,56 m/s
q =1.300 Kgx 30,56 m/s =39.728 Kg·m/s
v = q / m =39.728 Kg·m/s /900 Kg= 44,14 m/s
v = 44,14 ·3,6 Km/h=159 Km/h
Conservazione della Quantità di Moto
Qualora un sistema fisico fosse formato da più corpi, ognuno con la sua propria massa e velocità, la quantità di moto dell’intero sistema è la somma delle quantità di moto di ogni singolo componente.
Qtot = q1 + q2 + … + qn
Abbiamo già definito un sistema isolato cioè un sistema rispetto al quale la risultante di tutte le forze esterne applicate è uguale a zero.
Per ogni sistema, le forze che si scambiano le sue singole componenti (forze interne) sono forze di azione e reazione e quindi hanno complessivamente risultante nulla.
Per un sistema isolato la quantità di moto totale del sistema si conserva:
Qtot = costante
Qfin = Qin
Urti fra corpi
Un sistema isolato per il quale vale la legge di conservazione della quantità di moto è rappresentato da due carrelli di massa m1 e m2, che viaggiano con velocità v1 e v2 lungo la stessa direzione, ma con verso uguale o opposto:
La quantità di moto iniziale del sistema (carrello 1 e carrello 2) è la seguente:
Qi = q1i + q2i = m1 v1i – m2 v2i (verso opposto delle velocità)
Qi = q1i + q2i = m1 v1i + m2 v2i (velocità con stesso verso)
Qualora i due carrelli urtino, la loro velocità si modifica, la massa rimane invariata. La quantità di moto del sistema dopo l’urto è la seguente:
Qf = q1f + q2f = m1 v1f + m2 v2f
Per la legge di conservazione della q. di m. possiamo scrivere:
Qi = Qf
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
Per risolvere un problema basato sulla equazione precedente, l’incognita deve essere una sola mentre tutte le altre quantità devono essere note.
Tipi di Urto
Lo scontro fra corpi in cui si conserva anche l’energia cinetica, si definisce urto elastico.
Per gli urti elastici si hanno quindi a disposizione altre equazioni che si aggiungono alla precedente per risolvere particolari tipologie di problemi.
Nell’esempio precedente, qualora l’urto possa essere definito elastico, si avrebbe a disposizione la seguente ulteriore equazione:
½ m1 v1i2 + ½ m2 v2i2 = ½ m1 v1f2 + ½ m2 v2f2
In realtà nella maggior parte degli urti che si verificano in natura, l’energia cinetica non si conserva; quanto ciò si verifica ma comunque è possibile applicare la legge di conservazione della quantità di moto, l’urto si definisce anelastico.
Infine quando, dopo l’urto, i corpi rimangono attaccati insieme, l’urto si definisce completamente anelastico.
Esempio 2
Con riferimento alla figura precedente, si abbiano i seguenti dati:
m1 =50 Kg
v1i = 20 m/s
m2 =25 Kg
v2i = 0 m/s
Si suppone che dopo l’urto i due carrelli rimangano agganciati insieme (urto completamente anelastico).
Calcolare la velocità dei due carrelli dopo l’urto.
m1 v1i = (m1 + m2) v12f
v12f = (m1 v1i) / (m1 + m2)
v12f = (50 Kg x 20 m/s) / (50 Kg +25 Kg) = 13,33 m/s
Quantità di Moto e Impulso
Si consideri la legge che esprime il secondo principio della dinamica:
F = m a
Tenendo conto della definizione di accelerazione media, essa può essere riscritta nel seguente modo:
F = m Δv / Δt
F Δt = m Δv
Visto che Δv = vf – vi e che la quantità di moto si definisce come prodotto di massa e velocità mv, la precedente formula diventa:
F Δt = m (vf – vi )
F Δt = m vf – m vi
F Δt = qf – qi
F Δt = Δq (Teorema dell’impulso)
La quantità F Δt si definisce impulso della forza; quindi una forza che agisce per un tempo Δt su corpo di massa m, provoca in esso una variazione della quantità di moto Δq pari all’impulso della forza agente.
L’intensità della forza che agisce durante l’intervallo di tempo Δt è variabile: da un valore nullo raggiunge rapidamente un valore massimo per poi annullarsi alla fine dell’intervallo di tempo in cui agisce. E’ possibile per comodità di calcolo considerare un valore medio della forza agente Favg su tutto l’intervello di tempo Δt: l’impulso rappresenta nel grafico l’area sottesa dalla curva e dall’asse del tempo t.
Se la forza agente è nulla, la quantità di moto rimane costante, si ritorna quindi alla legge di conservazione della quantità di moto.
Esempio 3
Una forza costante di 100 N agisce per 10 s su un corpo di massa10 Kgin quiete. Trascurando l’attrito, quanto vale la velocità finale del corpo?
F Δt = m vf – m vi
F Δt = m vf
vf = (F Δt) / m
vf = (100 N x 10 s) /10 Kg = 100 m/s (360 Km/h)